Площади — Задание 18 ОГЭ по математике №00045855

Два круга на клетчатой бумаге, и нужно понять, во сколько раз площадь большего больше площади меньшего. Площадь круга $S=\pi r^{2}$, поэтому всё решают радиусы.

Правило: отношение площадей кругов равно отношению квадратов их радиусов — число $\pi$ при делении уходит:

$$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\pi r_1^{2}}{\pi r_2^{2}}=\dfrac{r_1^{2}}{r_2^{2}}.$$

Меньший круг. Его центр стоит в узле сетки, а окружность проходит через узлы ровно на $2$ клетки выше, ниже, левее и правее центра. Значит, $r_2=2$ и $r_2^{2}=4$.

Больший круг. Его центр тоже в узле, но окружность не проходит через узлы на одной линии с центром: по горизонтали она уходит чуть дальше третьей клетки. Зато она проходит через узел, сдвинутый от центра на $3$ клетки по горизонтали и на $1$ клетку по вертикали (таких узлов восемь, например слева чуть выше и чуть ниже центра). Радиус — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $3$ и $1$:

$$r_1^{2}=3^{2}+1^{2}=9+1=10.$$

Корень извлекать не нужно — в отношение идут квадраты радиусов:

$$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{10}{4}=2{,}5.$$

Обрати внимание на ловушку: если на глаз принять радиус большего круга за $3$ клетки, получится $\dfrac{9}{4}=2{,}25$ — неверно. Проверим себя: $r_1=\sqrt{10}\approx 3{,}16$ — окружность действительно выходит чуть за третью линию сетки от центра, как на рисунке, и $\left(\dfrac{3{,}16}{2}\right)^{2}\approx 1{,}58^{2}\approx 2{,}5$. Сходится.