Параллелогра… — Задание 17 ОГЭ по математике №00045844

В условии — диагонали параллелограмма $15$ и $18$ и угол между ними $30^\circ$. Для такого набора данных есть готовая формула.

Правило: площадь любого выпуклого четырёхугольника, в том числе параллелограмма, равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними:

$$S=\dfrac12\,d_1d_2\sin\alpha.$$

Синус $30^\circ$ — табличное значение: $\sin 30^\circ=\dfrac12$.

Подставляем по шагам. Сначала произведение диагоналей:

$$15\cdot 18=270.$$

Теперь половина от него и умножение на синус:

$$S=\dfrac12\cdot 270\cdot\dfrac12=135\cdot\dfrac12=67{,}5.$$

Проверим себя, разрезав параллелограмм диагоналями на четыре треугольника. Диагонали делятся точкой пересечения пополам, так что у каждого треугольника стороны $7{,}5$ и $9$, а угол между ними $30^\circ$ или $150^\circ$ (синусы у них одинаковые). Площадь одного:

$$\dfrac12\cdot 7{,}5\cdot 9\cdot\dfrac12=\dfrac{67{,}5}{4}=16{,}875,$$

а четырёх — $4\cdot 16{,}875=67{,}5$. Сходится.