Параллелогра… — Задание 17 ОГЭ по математике №00045843

Известны обе диагонали параллелограмма, $10$ и $13$, и угол между ними, $30^\circ$. Ни сторон, ни высоты нет — значит, площадь будем собирать из кусочков, на которые параллелограмм режут диагонали.

Правило: диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Поэтому все четыре треугольника вокруг точки пересечения имеют стороны-половинки диагоналей:

$$10:2=5,\qquad 13:2=6{,}5.$$

Угол между этими половинками у двух треугольников $30^\circ$, у двух других — смежный, $180^\circ-30^\circ=150^\circ$. Но $\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\dfrac12$, поэтому все четыре треугольника имеют одинаковую площадь.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними — половина произведения сторон на синус угла:

$$S_{\triangle}=\dfrac12\cdot 5\cdot 6{,}5\cdot\dfrac12=\dfrac{32{,}5}{4}=8{,}125.$$

Четыре таких треугольника:

$$S=4\cdot 8{,}125=32{,}5.$$

То же даёт готовая формула площади через диагонали и угол между ними:

$$S=\dfrac12\,d_1d_2\sin\alpha=\dfrac12\cdot 10\cdot 13\cdot\dfrac12=\dfrac{130}{4}=32{,}5.$$

Проверим формулу на частном случае: если бы диагонали были перпендикулярны ($\sin 90^\circ=1$), вышло бы $\dfrac{10\cdot 13}{2}=65$ — знакомая площадь ромба. При угле $30^\circ$ синус вдвое меньше, и площадь вдвое меньше: $65:2=32{,}5$. Сходится.