Трапеция — Задание 17 ОГЭ по математике №00045840

Здесь трапеция с основаниями $13$ и $25$, в ней проведены средняя линия и диагональ. Диагональ делит среднюю линию на два неравных куска, нужен меньший.

Подпишем вершины: $ABCD$, большее основание $AD=25$ (внизу), меньшее $BC=13$ (вверху), диагональ $AC$. Средняя линия $MN$ ($M$ на $AB$, $N$ на $CD$) пересекает диагональ в точке $P$.

Первое наблюдение: средняя линия параллельна основаниям и проходит через середину боковой стороны. По теореме Фалеса прямая, параллельная основаниям и делящая пополам одну сторону угла, делит пополам и другую. Поэтому $P$ — середина диагонали $AC$.

Теперь посмотрим на треугольник $ABC$ с верхним основанием $BC$. В нём $M$ — середина $AB$, $P$ — середина $AC$, значит, $MP$ — средняя линия этого треугольника. Средняя линия треугольника вдвое короче стороны, которой она параллельна:

$$MP=\dfrac{13}{2}=6{,}5.$$

Аналогично в треугольнике $ACD$ отрезок $PN$ — средняя линия, параллельная $AD$:

$$PN=\dfrac{25}{2}=12{,}5.$$

Меньший кусок — тот, что опирается на меньшее основание: $6{,}5$.

Проверим себя: вся средняя линия трапеции равна полусумме оснований, $\dfrac{13+25}{2}=\dfrac{38}{2}=19$, и действительно $6{,}5+12{,}5=19$. Сходится.