Трапеция — Задание 17 ОГЭ по математике №00026760

Точка пересечения диагоналей трапеции — классическое место для подобных треугольников.

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$. Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD$. Правило: при параллельных прямых накрест лежащие углы равны, поэтому $\angle OBC=\angle ODA$ и $\angle OCB=\angle OAD$.

Два равных угла — треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны. Коэффициент подобия — отношение оснований:

$$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{9}{16}.$$

Значит, и отрезки диагонали делятся в этом же отношении: $\dfrac{CO}{OA}=\dfrac{9}{16}$.

Вся диагональ $AC=15$ состоит из $CO$ и $OA$, то есть из $9+16=25$ равных долей, и на $CO$ приходится $9$ долей:

$$CO=15\cdot\dfrac{9}{25}=\dfrac{135}{25}=5{,}4.$$

$CO=5{,}4$.

Проверка: $OA=15\cdot\dfrac{16}{25}=9{,}6$, и действительно $5{,}4+9{,}6=15$, а $\dfrac{5{,}4}{9{,}6}=\dfrac{9}{16}$. Сходится.