Трапеция — Задание 17 ОГЭ по математике №00025029

Точка пересечения диагоналей трапеции делит их в одном и том же отношении — и это отношение равно отношению оснований. Покажем почему.

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$. Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD$. Поэтому углы $OBC$ и $ODA$ равны как накрест лежащие при секущей $BD$, углы $OCB$ и $OAD$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$. Правило: два равных угла — треугольники подобны.

Коэффициент подобия — отношение соответственных сторон, то есть оснований:

$$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.$$

Значит, и части диагонали $AC$ относятся так же:

$$\dfrac{CO}{OA}=\dfrac{3}{5}.$$

Вся диагональ $AC=12$ состоит из $CO$ и $OA$, то есть из $3+5=8$ равных частей. Одна часть:

$$12:8=1{,}5.$$

На $CO$ приходится $3$ части:

$$CO=3\cdot 1{,}5=4{,}5.$$

Проверка себя: $OA=5\cdot 1{,}5=7{,}5$ и $4{,}5+7{,}5=12$ — вся диагональ. Сходится.