Трапеция — Задание 17 ОГЭ по математике №00045839

На рисунке трапеция, её средняя линия и одна диагональ. Диагональ пересекает среднюю линию и делит её на два куска — нужно найти больший.

Обозначим вершины сами: $ABCD$, нижнее основание $AD=15$, верхнее $BC=7$, диагональ $AC$ идёт из левого нижнего угла в правый верхний. Средняя линия $MN$ соединяет середины боковых сторон: $M$ — на $AB$, $N$ — на $CD$; диагональ пересекает её в точке $P$.

Диагональ разрезает трапецию на два треугольника: $ABC$ (сверху слева) и $ACD$ (снизу справа). Кусок $MP$ лежит в треугольнике $ABC$, кусок $PN$ — в треугольнике $ACD$.

Правило: средняя линия трапеции параллельна основаниям и делит пополам не только боковые стороны, но и диагональ (по теореме Фалеса — параллельные прямые отсекают равные отрезки). Значит, $P$ — середина $AC$.

Тогда $MP$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ — это его средняя линия, а средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна:

$$MP=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{7}{2}=3{,}5.$$

Так же $PN$ — средняя линия треугольника $ACD$:

$$PN=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{15}{2}=7{,}5.$$

Больший из двух кусков — $7{,}5$.

Проверим себя: вместе куски должны дать всю среднюю линию трапеции, а она равна полусумме оснований: $3{,}5+7{,}5=11$ и $\dfrac{7+15}{2}=11$. Сходится.