Арифметическ… — Задание 14 ОГЭ по математике №00045813

Курс состоит из трёх этапов: дозу увеличивают, потом пять дней держат на $75$ каплях, потом уменьшают. На подъёме и спуске доза каждый день меняется на одно и то же число капель — это арифметические прогрессии, и их суммы считаем по формуле $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

Подъём. Дозы $5,\ 15,\ 25,\ \dots$ растут на $10$, пока не дойдут до $75$. День, когда доза впервые стала $75$, — это уже первый из пяти дней по $75$ капель. Поэтому на подъёме дозы $5,\ 15,\ \dots,\ 65$. От $5$ до $65$ — это $(65-5):10=6$ шагов, значит, дней $6+1=7$.

$$S_{\text{подъём}}=\dfrac{5+65}{2}\cdot 7=35\cdot 7=245.$$

Пять дней по $75$ капель: $75\cdot 5=375$.

Спуск. Дальше доза уменьшается на $10$ в день: $65,\ 55,\ \dots,\ 5$. Это те же семь чисел, что на подъёме, только в обратном порядке, поэтому их сумма тоже $245$.

Всего за курс: $245+375+245=865$ капель.

В одном пузырьке $200$ капель. Четырёх пузырьков мало: $4\cdot 200=800\lt 865$. Пяти хватает: $5\cdot 200=1\,000\gt 865$. Значит, наименьшее число пузырьков — $5$.

Проверим себя другим прочтением условия. Если день, когда доза впервые стала $75$, отнести к подъёму ($5,\ 15,\ \dots,\ 75$ — $8$ дней, сумма $\dfrac{5+75}{2}\cdot 8=320$), а потом добавить ещё пять дней по $75$, получится $320+375+245=940$ капель. Это тоже больше $800$ и меньше $1\,000$, так что пузырьков по-прежнему нужно $5$.