Арифметическ… — Задание 14 ОГЭ по математике №00045811

Разберёмся, как устроена «змейка». Пройдём её по рисунку от самого центра наружу и выпишем длины звеньев по порядку.

Звенья идут так: $1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ \dots,\ 10,\ 10$. Каждая длина встречается ровно два раза: змейка проходит отрезок, поворачивает, проходит отрезок той же длины, а следующая пара звеньев уже на одну клетку длиннее. Поэтому число звеньев всегда чётное — как и сказано в условии.

Значит, у змейки с последним звеном $95$ звенья такие: $1,\ 1,\ 2,\ 2,\ \dots,\ 95,\ 95$. Её длина — удвоенная сумма всех чисел от $1$ до $95$:

$$L=2\cdot(1+2+3+\dots+95).$$

Числа $1,\ 2,\ \dots,\ 95$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $1$. Её сумму найдём по формуле $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$: первый член $1$, последний $95$, всего $95$ членов.

$$S_{95}=\dfrac{1+95}{2}\cdot 95=48\cdot 95.$$

Посчитаем: $48\cdot 95=48\cdot 100-48\cdot 5=4\,800-240=4\,560$.

Удваиваем: $L=2\cdot 4\,560=9\,120$.

Проверим себя на рисунке. Там последнее звено $10$, и по тому же правилу длина равна $2\cdot(1+2+\dots+10)=2\cdot 55=110$. Короткая запись того же правила: удвоенная сумма $1+2+\dots+n$ равна $n(n+1)$. При $n=10$ это $10\cdot 11=110$ — совпадает, а при $n=95$ получаем $95\cdot 96=9\,120$.