Арифметическ… — Задание 14 ОГЭ по математике №00045812

Сначала поймём, по какому правилу строится «змейка». Идём по рисунку от центра наружу: звенья имеют длины $1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ \dots,\ 10,\ 10$ — каждая длина повторяется дважды, а потом звенья становятся на клетку длиннее.

Удобно склеить каждые два соседних звена одинаковой длины в один «уголок». Уголки имеют длины $1+1=2$, $2+2=4$, $3+3=6$ и так далее. Это арифметическая прогрессия с первым членом $2$ и разностью $2$.

Проверим на рисунке: последний уголок там $10+10=20$, уголков $10$, и их сумма $\dfrac{2+20}{2}\cdot 10=110$ — это длина нарисованной змейки.

У змейки с последним звеном $85$ последний уголок равен $85+85=170$, а уголков столько же, сколько разных длин звеньев, — $85$. Сумма прогрессии $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$:

$$L=\dfrac{2+170}{2}\cdot 85=86\cdot 85.$$

Посчитаем по частям: $86\cdot 85=86\cdot 80+86\cdot 5=6\,880+430=7\,310$.

Проверим себя другим способом: длина равна удвоенной сумме $1+2+\dots+85$. Эта сумма равна $\dfrac{1+85}{2}\cdot 85=43\cdot 85=3\,655$, а удвоенная — $7\,310$. Сходится.