Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00044092

💡 Идея. Продлим боковые стороны до пересечения. Меньшее основание, отрезок через точку пересечения диагоналей и большее основание станут основаниями трёх подобных треугольников с общей вершиной. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сторон, а каждая часть трапеции — разность двух таких треугольников.

Пусть $BC=a$ — меньшее основание, $AD=5a$ — большее, $O$ — точка пересечения диагоналей, $KL$ — отрезок прямой через $O$ параллельно основаниям ($K$ на $AB$, $L$ на $CD$).

Длина $KL$. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны (вертикальные углы при $O$ и накрест лежащие при $BC\parallel AD$) с коэффициентом $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac15$. Значит, $\dfrac{AO}{OC}=5$ и $\dfrac{AO}{AC}=\dfrac56$. В треугольнике $ABC$ отрезок $KO\parallel BC$, поэтому $KO=\dfrac56\cdot a$. Так же в треугольнике $DBC$ получаем $OL=\dfrac56\cdot a$. Итого

$$KL=\dfrac56 a+\dfrac56 a=\dfrac53 a.$$

Три подобных треугольника. Продлим $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $S$. Треугольники $SBC$, $SKL$, $SAD$ подобны (общий угол $S$ и соответственные углы при параллельных прямых), их основания $a$, $\dfrac53 a$, $5a$, то есть относятся как $3:5:15$.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон: $S_{SBC}:S_{SKL}:S_{SAD}=9:25:225$. Обозначим их $9u$, $25u$ и $225u$.

Верхняя часть трапеции (между $BC$ и $KL$) — это $S_{SKL}-S_{SBC}=25u-9u=16u$. Нижняя часть (между $KL$ и $AD$) — это $S_{SAD}-S_{SKL}=225u-25u=200u$.

$$16u:200u=2:25.$$

Часть, прилегающая к меньшему основанию, относится к части у большего основания как $2:25$.

Проверим себя вторым способом — через высоты. Высоты треугольников $BOC$ и $DOA$ относятся как $1:5$, поэтому прямая $KL$ проходит на расстоянии $\dfrac h6$ от $BC$ и $\dfrac{5h}{6}$ от $AD$. Площади частей: $\dfrac{a+\frac53 a}{2}\cdot\dfrac h6=\dfrac{4a}{3}\cdot\dfrac h6=\dfrac{2ah}{9}$ и $\dfrac{\frac53 a+5a}{2}\cdot\dfrac{5h}{6}=\dfrac{10a}{3}\cdot\dfrac{5h}{6}=\dfrac{25ah}{9}$. Отношение то же: $2:25$, а сумма $\dfrac{27ah}{9}=3ah$ равна площади трапеции $\dfrac{a+5a}{2}\cdot h$.