Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00044088

💡 Идея. Диагональ $AC$ делит четырёхугольник на треугольники $ABC$ и $ADC$, и их площади относятся как $BO:DO$. Узнав, какую долю всего $ABCD$ занимает $ABC$, найдём, какую долю $ABC$ занимает $ABN$, — а это и есть $AN:AC$.

Четыре треугольника при $O$. У треугольников $AOB$ и $AOD$ общая высота из вершины $A$ к прямой $BD$, поэтому их площади относятся как основания: $S_{AOB}:S_{AOD}=BO:DO=15:9=5:3$. Точно так же $S_{COB}:S_{COD}=5:3$.

Складываем: $S_{ABC}=S_{AOB}+S_{COB}$ и $S_{ADC}=S_{AOD}+S_{COD}$, поэтому и $S_{ABC}:S_{ADC}=5:3$. Значит, треугольник $ABC$ занимает $\dfrac{5}{5+3}=\dfrac58$ площади $ABCD$.

Треугольник $ABN$. Точка $N$ лежит на $AC$, поэтому у треугольников $ABN$ и $ABC$ общая высота из $B$, и

$$\dfrac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\dfrac{AN}{AC}.$$

По условию $S_{ABN}=\dfrac{S_{ABCD}}{7{,}5}$. Делим обе доли:

$$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{7{,}5}:\dfrac58=\dfrac{1}{7{,}5}\cdot\dfrac85=\dfrac{8}{37{,}5}=\dfrac{16}{75}.$$

Отсюда $AN=30\cdot\dfrac{16}{75}=\dfrac{480}{75}=6{,}4$ и

$$CN=AC-AN=30-6{,}4=23{,}6.$$

Проверим себя другим способом. Пусть высоты из $B$ и $D$ к прямой $AC$ равны $5t$ и $3t$ (они относятся как $BO:DO$). Тогда $S_{ABCD}=\dfrac12\cdot 30\cdot(5t+3t)=120t$, а $S_{ABN}=\dfrac12\cdot AN\cdot 5t$. Условие: $\dfrac52\,t\cdot AN=\dfrac{120t}{7{,}5}=16t$, откуда $AN=6{,}4$ — то же самое.