ID: 00039042
Источник: ФИПИ
В трапеции $ABCD$ (основания $BC$ и $AD$) боковые стороны равны $AB=4$ и $CD=5$, меньшее основание $BC=1$, а биссектриса угла $ADC$ проходит через середину боковой стороны $AB$. Найдём площадь трапеции.
Шаг 1. Достраиваем. Обозначим $M$ — середину стороны $AB$; через неё проходит биссектриса угла $ADC$. Продлим луч $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$.
Шаг 2. Равенство треугольников. В треугольниках $AMD$ и $BMK$: $AM=MB$ (по условию $M$ — середина $AB$), $\angle AMD=\angle BMK$ как вертикальные, $\angle MAD=\angle MBK$ как накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. По второму признаку равенства треугольников они равны, поэтому
$BK=AD$,
и луч $BK$ направлен в сторону, противоположную лучу $AD$, то есть точка $B$ лежит между $K$ и $C$.
Шаг 3. Равнобедренный треугольник $DKC$. Так как $DM$ — биссектриса, $\angle ADK=\angle KDC$. Кроме того, $\angle ADK=\angle DKC$ как накрест лежащие при $AD$ параллельно $BC$ и секущей $DK$. Значит $\angle KDC=\angle DKC$, треугольник $DKC$ равнобедренный и
$CK=CD=5$.
Шаг 4. Находим $AD$. Так как $B$ лежит между $K$ и $C$, то $CK=CB+BK=BC+AD$:
$5=1+AD$, откуда $AD=4$.
Шаг 5. Высота трапеции. Проведём через $B$ прямую, параллельную $CD$, до пересечения с $AD$ в точке $P$. Тогда $BCDP$ — параллелограмм, поэтому $BP=CD=5$, $PD=BC=1$ и
$AP=AD-PD=4-1=3$.
В треугольнике $ABP$ стороны $4$, $3$ и $5$: так как $3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}$, по обратной теореме Пифагора он прямоугольный с прямым углом между сторонами 3 и 4. Его площадь
$S_{ABP}=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$,
а высота трапеции — это высота треугольника к стороне $AP=3$, лежащей на прямой $AD$:
$h=\dfrac{2\cdot 6}{3}=4$.
Шаг 6. Площадь.
$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{1+4}{2}\cdot 4=\dfrac{5}{2}\cdot 4=10$.