Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00044087

💡 Идея. Диагональ $BD$ режет четырёхугольник на треугольники $ABD$ и $CBD$ с общим основанием. Их высоты к $BD$ относятся как $AO:CO$ — так площадь всего $ABCD$ выражается через одну высоту, а треугольник $ABK$ — через отрезок $BK$.

Высоты. Опустим перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на прямую $BD$. Прямоугольные треугольники $APO$ и $CQO$ подобны: у них прямые углы при $P$ и $Q$ и равные вертикальные углы при $O$. Поэтому

$$\dfrac{AP}{CQ}=\dfrac{AO}{CO}=\dfrac{12}{16}=\dfrac34.$$

Пусть $AP=3t$, тогда $CQ=4t$.

Площадь $ABCD$. Она складывается из площадей треугольников $ABD$ и $CBD$ с общим основанием $BD=18$:

$$S_{ABCD}=\dfrac12\cdot 18\cdot 3t+\dfrac12\cdot 18\cdot 4t=27t+36t=63t.$$

Площадь $ABK$. Точка $K$ лежит на $BD$, поэтому основание треугольника $ABK$ — отрезок $BK$, а высота из $A$ та же $AP=3t$:

$$S_{ABK}=\dfrac12\cdot BK\cdot 3t=\dfrac32\,t\cdot BK.$$

По условию площадь $ABK$ в $5$ раз меньше площади $ABCD$:

$$5\cdot\dfrac32\,t\cdot BK=63t,\qquad \dfrac{15}{2}\,BK=63,\qquad BK=\dfrac{126}{15}=8{,}4.$$

Тогда $KD=BD-BK=18-8{,}4=9{,}6$.

Проверим себя через доли. Треугольник $ABD$ составляет от $ABCD$ долю $\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{12}{28}=\dfrac37$ (высоты относятся как $AO:CO$). Треугольник $ABK$ составляет от $ABD$ долю $\dfrac{BK}{BD}$. Нужно $\dfrac37\cdot\dfrac{BK}{18}=\dfrac15$, откуда $BK=\dfrac{18\cdot 7}{15}=8{,}4$ — совпадает.