Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039045

В трапеции $ABCD$ (основания $BC$ и $AD$) боковые стороны равны $AB=12$ и $CD=13$, меньшее основание $BC=4$, а биссектриса угла $ADC$ проходит через середину боковой стороны $AB$. Найдём площадь трапеции.

Шаг 1. Дополнительное построение. Обозначим $M$ — середину боковой стороны $AB$; по условию через неё проходит биссектриса угла $ADC$. Продлим луч $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$.

Шаг 2. Равные треугольники. В треугольниках $AMD$ и $BMK$: $AM=MB$ (точка $M$ — середина $AB$), $\angle AMD=\angle BMK$ как вертикальные, $\angle MAD=\angle MBK$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны, значит

$BK=AD$,

причём луч $BK$ направлен противоположно лучу $AD$, поэтому точка $B$ лежит между $K$ и $C$.

Шаг 3. Равнобедренный треугольник $DKC$. Так как $DM$ — биссектриса угла $ADC$, то $\angle ADK=\angle KDC$. Кроме того, $\angle ADK=\angle DKC$ как накрест лежащие при $AD$ параллельно $BC$ и секущей $DK$. Отсюда $\angle KDC=\angle DKC$, то есть треугольник $DKC$ равнобедренный:

$CK=CD=13$.

Шаг 4. Большее основание. Точка $B$ лежит между $K$ и $C$, поэтому $CK=CB+BK$, а $BK=AD$:

$13=4+AD$, откуда $AD=9$.

Шаг 5. Высота. Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную $CD$, до пересечения с $AD$ в точке $P$. Тогда $BCDP$ — параллелограмм, значит $BP=CD=13$ и $PD=BC=4$, а

$AP=AD-PD=9-4=5$.

В треугольнике $ABP$ стороны равны $12$, $5$ и $13$. По обратной теореме Пифагора $5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}$, значит треугольник прямоугольный с прямым углом между сторонами 5 и 12. Его площадь

$S_{ABP}=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$,

а высота трапеции — это высота треугольника, опущенная на сторону $AP=5$ (она лежит на прямой $AD$):

$h=\dfrac{2\cdot 30}{5}=12$.

Шаг 6. Площадь трапеции.

$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{4+9}{2}\cdot 12=\dfrac{13}{2}\cdot 12=78$.