Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00044091

💡 Идея. Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции в том же отношении, что и основания. Найдём, на каких высотах лежит прямая и какой длины её отрезок внутри трапеции, — и сравним площади двух получившихся трапеций.

Пусть $BC=a$ — меньшее основание, $AD=2a$ — большее, $h$ — высота, $O$ — точка пересечения диагоналей. Прямая через $O$ параллельно основаниям пересекает $AB$ в точке $K$ и $CD$ в точке $L$.

Где проходит прямая. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны: углы при $O$ вертикальные, а $\angle OBC=\angle ODA$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$. Коэффициент подобия $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac12$. Их высоты из $O$ относятся так же, а вместе составляют $h$. Поэтому расстояние от $KL$ до $BC$ равно $\dfrac h3$, а до $AD$ — $\dfrac{2h}{3}$.

Длина отрезка $KL$. Из того же подобия $\dfrac{AO}{OC}=2$, то есть $\dfrac{AO}{AC}=\dfrac23$. В треугольнике $ABC$ отрезок $KO$ параллелен $BC$, поэтому треугольник $AKO$ подобен $ABC$ с коэффициентом $\dfrac23$ и $KO=\dfrac23 a$. Так же в треугольнике $DBC$ получаем $OL=\dfrac23 a$. Итого

$$KL=\dfrac23 a+\dfrac23 a=\dfrac43 a.$$

Площади частей. Верхняя трапеция $KBCL$ — основания $a$ и $\dfrac43 a$, высота $\dfrac h3$:

$$S_{1}=\dfrac{a+\frac43 a}{2}\cdot\dfrac h3=\dfrac{7a}{6}\cdot\dfrac h3=\dfrac{7ah}{18}.$$

Нижняя трапеция $AKLD$ — основания $\dfrac43 a$ и $2a$, высота $\dfrac{2h}{3}$:

$$S_{2}=\dfrac{\frac43 a+2a}{2}\cdot\dfrac{2h}{3}=\dfrac{5a}{3}\cdot\dfrac{2h}{3}=\dfrac{10ah}{9}=\dfrac{20ah}{18}.$$

Отношение площадей: $S_{1}:S_{2}=7:20$ — часть, прилегающая к меньшему основанию, относится к части у большего основания как $7:20$.

Проверим себя: $S_{1}+S_{2}=\dfrac{27ah}{18}=\dfrac{3ah}{2}$, а площадь всей трапеции $\dfrac{a+2a}{2}\cdot h=\dfrac{3ah}{2}$ — совпадает.