Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039046

Углы при одном из оснований трапеции равны $18^{\circ}$ и $72^{\circ}$, а два отрезка, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 4. Требуется найти основания.

Шаг 1. Что это за два отрезка. У трапеции две пары противоположных сторон: пара оснований и пара боковых сторон. Значит речь идёт о двух отрезках:

• отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — это средняя линия трапеции;
• отрезок, соединяющий середины оснований.

Обозначим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD=a$ (большее) и $BC=b$ (меньшее), боковые стороны $AB$ и $CD$.

Шаг 2. Средняя линия. По свойству средней линии трапеции она равна полусумме оснований:

$\dfrac{a+b}{2}$.

Шаг 3. Прямой угол из условия. Углы при основании $AD$ равны $18^{\circ}$ и $72^{\circ}$, а их сумма

$18^{\circ}+72^{\circ}=90^{\circ}$.

Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P$. В треугольнике $APD$ два угла равны $18^{\circ}$ и $72^{\circ}$, значит третий угол

$\angle APD=180^{\circ}-18^{\circ}-72^{\circ}=90^{\circ}$,

то есть треугольник $APD$ прямоугольный с гипотенузой $AD$.

Шаг 4. Медианы к гипотенузам. Пусть $M$ — середина $AD$, $N$ — середина $BC$. В прямоугольном треугольнике $APD$ отрезок $PM$ — медиана к гипотенузе, а она равна половине гипотенузы:

$PM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}$.

Треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$ (стороны $BC$ и $AD$ параллельны), поэтому он тоже прямоугольный с гипотенузой $BC$, и

$PN=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{b}{2}$.

Шаг 5. Отрезок между серединами оснований. Треугольники $BPC$ и $APD$ гомотетичны с центром $P$ (их соответственные стороны параллельны), и при этой гомотетии середина $BC$ переходит в середину $AD$. Значит точки $P$, $N$, $M$ лежат на одной прямой, причём $N$ между $P$ и $M$. Поэтому

$MN=PM-PN=\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}=\dfrac{a-b}{2}$,

то есть отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

Шаг 6. Составляем систему. Итак, два данных числа 15 и 4 — это $\dfrac{a+b}{2}$ и $\dfrac{a-b}{2}$. Полусумма положительных чисел всегда больше их полуразности, поэтому

$\dfrac{a+b}{2}=15$ и $\dfrac{a-b}{2}=4$, то есть $a+b=30$ и $a-b=8$.

Складывая уравнения: $2a=38$, $a=19$; тогда $b=30-19=11$.

Проверка: полусумма $\dfrac{19+11}{2}=15$, полуразность $\dfrac{19-11}{2}=4$ — оба условия выполнены.