Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00044089

💡 Идея. Биссектриса, проходящая через середину боковой стороны, — повод продлить её до прямой второго основания. Середина $M$ перенесёт большее основание на продолжение меньшего, появится равнобедренный треугольник, и большее основание найдётся. Останется высота.

Пусть $M$ — середина $AB$. Продолжим $DM$ за точку $M$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $P$.

Треугольники $AMD$ и $BMP$ равны: $AM=MB$, углы при $M$ вертикальные, $\angle MAD=\angle MBP$ как накрест лежащие при $AD\parallel BC$ и секущей $AB$. Отсюда $BP=AD$.

Точка $P$ симметрична $D$ относительно $M$, поэтому лежит по другую сторону от прямой $AB$, чем $C$ и $D$, — на продолжении основания $CB$ за точку $B$. Значит, $CP=CB+BP=1+AD$.

Теперь углы. $\angle CPD=\angle PDA$ как накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $PD$. А $\angle PDA=\angle PDC$, потому что $DM$ — биссектриса угла $ADC$. Значит, $\angle CPD=\angle CDP$, и треугольник $CPD$ равнобедренный с равными сторонами $CP$ и $CD$:

$$1+AD=CP=CD=17,\qquad AD=16.$$

Высота. Опустим высоты из $B$ и $C$ на $AD$. Пусть проекция стороны $AB$ на $AD$ равна $x$, тогда проекция стороны $CD$ равна $(16-1)-x=15-x$. Квадрат высоты, посчитанный по двум сторонам, один и тот же:

$$8^{2}-x^{2}=17^{2}-(15-x)^{2}.$$

Раскроем скобку: $(15-x)^{2}=225-30x+x^{2}$. Тогда $64-x^{2}=289-225+30x-x^{2}$, то есть $64=64+30x$, откуда $x=0$.

Проекция $AB$ нулевая: боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, и высота трапеции равна $AB=8$. (Проверка по второй стороне: $15^{2}+8^{2}=225+64=289=17^{2}$.)

Площадь.

$$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{1+16}{2}\cdot 8=17\cdot 4=68.$$

Проверим себя другим путём. Треугольник $CMD$ с вершиной в середине боковой стороны $AB$ занимает ровно половину трапеции. В нём $CM$ — медиана равнобедренного треугольника $CPD$, а значит, и высота: $CM\perp MD$. Так как $AB\perp AD$, имеем $MD^{2}=4^{2}+16^{2}=272$ и $CM^{2}=17^{2}-272=17$. Тогда $S_{CMD}=\dfrac12\sqrt{17}\cdot\sqrt{272}=\dfrac12\sqrt{4624}=\dfrac{68}{2}=34$ — ровно половина от $68$.