Четырёхуголь… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039039

В трапеции $ABCD$ (основания $BC$ и $AD$) боковые стороны равны $AB=24$ и $CD=25$, меньшее основание $BC=9$, а биссектриса угла $ADC$ проходит через середину боковой стороны $AB$. Найдём площадь трапеции.

Шаг 1. Дополнительное построение. Пусть $M$ — середина стороны $AB$; по условию биссектриса угла $ADC$ проходит через неё. Продлим луч $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$.

Шаг 2. Равные треугольники. Рассмотрим треугольники $AMD$ и $BMK$: $AM=MB$ (точка $M$ — середина), $\angle AMD=\angle BMK$ как вертикальные, $\angle MAD=\angle MBK$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. По стороне и двум прилежащим к ней углам треугольники равны, следовательно

$BK=AD$,

причём луч $BK$ направлен противоположно лучу $AD$, поэтому точка $B$ лежит между $K$ и $C$.

Шаг 3. Равнобедренный треугольник. Так как $DM$ — биссектриса угла $ADC$, имеем $\angle ADK=\angle KDC$. Кроме того, $\angle ADK=\angle DKC$ как накрест лежащие при $AD$ параллельно $BC$ и секущей $DK$. Значит $\angle KDC=\angle DKC$, и треугольник $DKC$ равнобедренный:

$CK=CD=25$.

Шаг 4. Большее основание. Точка $B$ лежит между $K$ и $C$, поэтому $CK=CB+BK$, а $BK=AD$:

$25=9+AD$, откуда $AD=16$.

Шаг 5. Высота. Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную $CD$, до пересечения с $AD$ в точке $P$. Четырёхугольник $BCDP$ — параллелограмм, значит $BP=CD=25$ и $PD=BC=9$, а

$AP=AD-PD=16-9=7$.

В треугольнике $ABP$ стороны $24$, $7$ и $25$. Проверяем обратную теорему Пифагора: $7^{2}+24^{2}=49+576=625=25^{2}$ — треугольник прямоугольный, прямой угол между сторонами 7 и 24. Его площадь

$S_{ABP}=\dfrac{1}{2}\cdot 24\cdot 7=84$,

а высота трапеции — это высота треугольника, опущенная на сторону $AP=7$ (она лежит на прямой $AD$):

$h=\dfrac{2\cdot 84}{7}=24$.

Шаг 6. Площадь трапеции.

$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot h=\dfrac{9+16}{2}\cdot 24=\dfrac{25}{2}\cdot 24=300$.