Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00044090

💡 Идея. Произведение $BD\cdot DC$ появляется в задаче дважды. Первый раз — из полуокружности: через высоту $MD$ прямоугольного треугольника $BMC$. Второй раз — из ортоцентра: через отрезки $AD$ и $DH$. Приравняв, найдём $DH$, а с ним и $AH$.

Первое произведение. Точка $M$ лежит на окружности с диаметром $BC$, поэтому вписанный угол $BMC$ опирается на диаметр и равен $90^{\circ}$. Отрезок $MD$ лежит на высоте $AD$, то есть $MD\perp BC$: это высота прямоугольного треугольника $BMC$, проведённая к гипотенузе.

Прямоугольные треугольники $BMD$ и $MCD$ подобны (угол $MBD$ дополняет угол $BMD$ до $90^{\circ}$, и угол $CMD$ — тоже), поэтому $\dfrac{BD}{MD}=\dfrac{MD}{DC}$, то есть

$$BD\cdot DC=MD^{2}=20^{2}=400.$$

Второе произведение. Треугольник остроугольный, поэтому точка пересечения высот $H$ лежит внутри него, на отрезке $AD$. Пусть $BE$ — высота к стороне $AC$, она проходит через $H$.

Сравним прямоугольные треугольники $BDH$ и $ADC$ (прямые углы при $D$). Угол $HBD$ — острый угол прямоугольного треугольника $BEC$, он равен $90^{\circ}-\angle C$. Угол $DAC$ — острый угол прямоугольного треугольника $ADC$, он тоже равен $90^{\circ}-\angle C$. Значит, треугольники подобны, и

$$\dfrac{DH}{BD}=\dfrac{DC}{AD},\qquad DH=\dfrac{BD\cdot DC}{AD}.$$

Подставляем первое произведение:

$$DH=\dfrac{400}{32}=12{,}5.$$

Тогда $AH=AD-DH=32-12{,}5=19{,}5$.

Проверим себя. Из равенства $AD\cdot DH=MD^{2}$ и $AD\gt MD$ следует $DH\lt MD$: ортоцентр $H$ лежит ближе к $BC$, чем точка $M$. У нас $12{,}5\lt 20$ — порядок точек на высоте верный. Числовой пример тоже сходится: при $BD=10$, $DC=40$ (их произведение $400$) и $AD=32$ высота из $B$ пересекает $AD$ на высоте $12{,}5$.