Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039034

В треугольнике $ABC$ даны стороны $AB=30$ и $AC=100$, точка $O$ — центр описанной около него окружности. Прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AO$ и пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдём $CD$.

Шаг 1. Вспомогательная касательная. Проведём в точке $A$ касательную к описанной окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому эта касательная перпендикулярна прямой $AO$. Прямая $BD$ по условию тоже перпендикулярна $AO$. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, значит

прямая $BD$ параллельна касательной, проведённой в точке $A$.

Шаг 2. Угол между касательной и хордой. По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной в точке $A$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $ACB$, опирающемуся на ту же хорду $AB$. А так как $BD$ параллельна касательной, при секущей $AB$ соответствующие углы равны, поэтому

$\angle ABD=\angle ACB$.

Шаг 3. Подобие. В треугольниках $ABD$ и $ACB$ угол $A$ общий, а $\angle ABD=\angle ACB$ по шагу 2. По признаку подобия «по двум углам» треугольники подобны, причём вершина $B$ первого отвечает вершине $C$ второго, а вершина $D$ — вершине $B$. Значит

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$, то есть $AB^{2}=AC\cdot AD$.

Шаг 4. Вычисления. Отсюда

$AD=\dfrac{AB^{2}}{AC}=\dfrac{30^{2}}{100}=\dfrac{900}{100}=9$.

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому искомый отрезок

$CD=AC-AD=100-9=91$.

Тот же ответ даёт короткая запись $CD=\dfrac{AC^{2}-AB^{2}}{AC}=\dfrac{10000-900}{100}=91$.