Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039036

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$, причём $AM=24$ и $AN=42$. Окружность проходит через $M$ и $N$ и касается луча $AB$; дано $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$. Найдём радиус окружности.

Шаг 1. Синус угла $A$. Обозначим $\alpha=\angle BAC$. Тогда по основному тригонометрическому тождеству

$\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\right)^{2}}=\sqrt{1-\dfrac{7}{16}}=\dfrac{3}{4}$.

Шаг 2. Касательная и секущая. Пусть $T$ — точка касания окружности с лучом $AB$. Из точки $A$ к окружности проведены касательная $AT$ и секущая, пересекающая её в точках $M$ и $N$. По теореме о касательной и секущей квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть:

$AT^{2}=AM\cdot AN=24\cdot 42=1008$, значит $AT=\sqrt{1008}=12\sqrt{7}$.

Шаг 3. Положение центра. Введём координаты: точка $A$ — начало, ось $Ox$ направлена вдоль луча $AC$, тогда $M(24;0)$ и $N(42;0)$. Центр $O$ равноудалён от $M$ и $N$, значит лежит на серединном перпендикуляре к хорде $MN$. Середина $MN$ — точка $K$:

$AK=\dfrac{24+42}{2}=33$, и центр имеет вид $O(33;k)$, где $|k|=OK$ — расстояние от центра до прямой $AC$.

Шаг 4. Находим $k$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $T$ — основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на прямую $AB$, а значит $AT$ равно проекции отрезка $AO$ на луч $AB$. Разобьём путь из $A$ в $O$ на две части: $AK$ вдоль $AC$ и $KO$ поперёк $AC$. Первая часть даёт проекцию $AK\cos\alpha$, вторая — $k\sin\alpha$ (угол между $KO$ и лучом $AB$ равен $90^{\circ}-\alpha$). Получаем

$AT=AK\cos\alpha+k\sin\alpha$, то есть $12\sqrt{7}=33\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{4}+k\cdot\dfrac{3}{4}$.

$\dfrac{3k}{4}=12\sqrt{7}-\dfrac{33\sqrt{7}}{4}=\dfrac{48\sqrt{7}-33\sqrt{7}}{4}=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}$, откуда $k=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}\cdot\dfrac{4}{3}=5\sqrt{7}$.

Шаг 5. Радиус по теореме Пифагора. Перпендикуляр $OK$ из центра к хорде $MN$ делит эту хорду пополам:

$KM=\dfrac{42-24}{2}=9$.

В прямоугольном треугольнике $OKM$ гипотенуза $OM$ — это радиус:

$R^{2}=KM^{2}+OK^{2}=9^{2}+(5\sqrt{7})^{2}=81+175=256$;

$R=\sqrt{256}=16$.