Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039037

Дана равнобедренная трапеция с периметром 160 и площадью 1280, в которую можно вписать окружность. Требуется найти расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.

Шаг 1. Что даёт вписанная окружность. Окружность можно вписать в четырёхугольник тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Для трапеции это значит: сумма оснований равна сумме боковых сторон. Вместе они составляют периметр, поэтому каждая из этих сумм равна половине периметра:

$a+b=\dfrac{160}{2}=80$ (обозначили меньшее основание $a$, большее $b$), и сумма боковых сторон тоже 80.

Трапеция равнобедренная, боковые стороны равны, поэтому каждая равна $\dfrac{80}{2}=40$.

Шаг 2. Высота. Из формулы площади трапеции $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$ получаем

$1280=\dfrac{80}{2}\cdot h=40h$, откуда $h=32$.

Шаг 3. Основания по отдельности. Опустим из вершин меньшего основания высоты на большее. В равнобедренной трапеции они отсекают два равных прямоугольных треугольника, у каждого катеты равны $h=32$ и $\dfrac{b-a}{2}$, а гипотенуза — боковая сторона 40. По теореме Пифагора

$\left(\dfrac{b-a}{2}\right)^{2}=40^{2}-32^{2}=1600-1024=576$, значит $\dfrac{b-a}{2}=24$ и $b-a=48$.

Из системы $a+b=80$, $b-a=48$ находим $b=64$ и $a=16$.

Шаг 4. Диагонали. Пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Они отсекают у меньшего и у большего основания два треугольника, которые подобны: их углы равны как накрест лежащие при параллельных основаниях и секущих-диагоналях. Коэффициент подобия равен отношению оснований $a:b$. Соответствующие высоты подобных треугольников относятся в том же отношении, поэтому расстояния от $O$ до меньшего и до большего основания относятся как

$a:b=16:64=1:4$.

Шаг 5. Ответ. Сумма этих двух расстояний равна высоте трапеции, то есть 32, а делятся они в отношении $1:4$, то есть на $1+4=5$ частей:

$d=32\cdot\dfrac{16}{16+64}=32\cdot\dfrac{1}{5}=6,4$.