Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039041

В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=28$ и $AC=56$, точка $O$ — центр описанной окружности. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдём $CD$.

Шаг 1. Куда смотрит перпендикуляр к $AO$. Проведём в точке $A$ касательную к описанной окружности. Радиус, идущий в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому касательная в точке $A$ перпендикулярна $AO$. Но и прямая $BD$ перпендикулярна $AO$ по условию. Значит эти две прямые параллельны:

$BD$ параллельна касательной в точке $A$.

Шаг 2. Переносим угол. По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной в точке $A$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $ACB$, который опирается на ту же хорду $AB$. Из параллельности (шаг 1) при секущей $AB$ равные углы переносятся на прямую $BD$:

$\angle ABD=\angle ACB$.

Шаг 3. Подобие треугольников. В треугольниках $ABD$ и $ACB$ угол $A$ общий, а $\angle ABD=\angle ACB$. По первому признаку подобия (по двум углам) они подобны, при этом вершине $B$ первого треугольника соответствует вершина $C$ второго, а вершине $D$ — вершина $B$. Значит

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$, откуда $AB^{2}=AC\cdot AD$.

Шаг 4. Считаем.

$AD=\dfrac{AB^{2}}{AC}=\dfrac{28^{2}}{56}=\dfrac{784}{56}=14$.

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому

$CD=AC-AD=56-14=42$.

Проверка короткой формулой: $CD=\dfrac{AC^{2}-AB^{2}}{AC}=\dfrac{3136-784}{56}=\dfrac{2352}{56}=42$.