Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039035

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$, $AD=14$, $BC=7$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Нужно найти расстояние от точки $E$ до прямой $CD$.

Шаг 1. Две готовые перпендикулярности. Основания трапеции параллельны: $BC$ параллельна $AD$. Так как $AB$ перпендикулярна $BC$, она перпендикулярна и параллельной ей прямой $AD$. Значит:

• $CB$ — перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AB$, поэтому расстояние от $C$ до прямой $AB$ равно $BC=7$;
• $DA$ — перпендикуляр из точки $D$ на прямую $AB$, поэтому расстояние от $D$ до прямой $AB$ равно $AD=14$.

Прямая $AB$ — это касательная к нашей окружности в точке $E$. Значит нам известны расстояния от двух точек окружности ($C$ и $D$) до касательной, проведённой в третьей её точке ($E$).

Шаг 2. Ключевое утверждение. Докажем: если $C$, $D$, $E$ лежат на окружности, а $\ell$ — касательная в точке $E$, то расстояние от $E$ до хорды $CD$ есть среднее геометрическое расстояний от $C$ и от $D$ до касательной $\ell$.

Обозначим $P$ и $Q$ — основания перпендикуляров, опущенных из $C$ и из $D$ на прямую $\ell$, а $F$ — основание перпендикуляра из $E$ на прямую $CD$. Тогда $CP=7$, $DQ=14$, и надо найти $EF$.

По теореме об угле между касательной и хордой угол между $\ell$ и хордой $EC$ равен вписанному углу $EDC$, опирающемуся на ту же хорду. Из прямоугольного треугольника $EPC$ (прямой угол при $P$) получаем

$CP=EC\cdot\sin\angle PEC=EC\cdot\sin\angle EDC$.

Точно так же угол между $\ell$ и хордой $ED$ равен вписанному углу $ECD$, и из прямоугольного треугольника $EQD$

$DQ=ED\cdot\sin\angle QED=ED\cdot\sin\angle ECD$.

А расстояние $EF$ посчитаем из двух прямоугольных треугольников $EFC$ и $EFD$:

$EF=EC\cdot\sin\angle ECD$ и одновременно $EF=ED\cdot\sin\angle EDC$.

Перемножим два последних равенства: $EF^{2}=(EC\sin\angle EDC)\cdot(ED\sin\angle ECD)=CP\cdot DQ$. Утверждение доказано.

Шаг 3. Считаем. Подставляем найденные в шаге 1 расстояния:

$EF^{2}=CP\cdot DQ=BC\cdot AD=7\cdot 14=98$;

$EF=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\approx 9,9$.

Обрати внимание: ответ не зависит ни от высоты трапеции, ни от того, в каком именно месте прямой $AB$ находится точка $E$ — только от длин оснований.