Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039040

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$: $AM=12$, $AN=45$. Окружность проходит через $M$ и $N$ и касается луча $AB$, при этом $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$. Найдём радиус окружности.

Шаг 1. Синус угла $A$. Обозначим $\alpha=\angle BAC$. По основному тригонометрическому тождеству

$\sin\alpha=\sqrt{1-\dfrac{15}{16}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}$.

Синус маленький — значит угол $A$ очень узкий, около $14,5^{\circ}$; это пригодится для понимания чертежа.

Шаг 2. Касательная и секущая. Пусть $T$ — точка касания окружности с лучом $AB$. Из точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая через точки $M$ и $N$. По теореме о касательной и секущей

$AT^{2}=AM\cdot AN=12\cdot 45=540$, значит $AT=\sqrt{540}=6\sqrt{15}$.

Шаг 3. Координаты и положение центра. Поместим $A$ в начало координат, ось $Ox$ направим вдоль луча $AC$, а луч $AB$ пусть идёт вверх под углом $\alpha$. Тогда $M(12;0)$, $N(45;0)$. Центр $O$ равноудалён от $M$ и $N$, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к $MN$. Середина $MN$ — точка $K$:

$AK=\dfrac{12+45}{2}=\dfrac{57}{2}=28,5$, и центр имеет вид $O(28,5;k)$.

Здесь $k$ — координата со знаком: при $k\gt 0$ центр лежит с той же стороны от $AC$, что и луч $AB$, при $k\lt 0$ — с противоположной.

Шаг 4. Уравнение на $k$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит $T$ — основание перпендикуляра из $O$ на прямую $AB$, а $AT$ — проекция отрезка $AO$ на луч $AB$. Разложим путь из $A$ в $O$ на кусок $AK$ вдоль $AC$ и кусок $KO$ поперёк $AC$; их проекции равны $AK\cos\alpha$ и $k\sin\alpha$. Тогда

$AT=AK\cos\alpha+k\sin\alpha$, то есть $6\sqrt{15}=28,5\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}+k\cdot\dfrac{1}{4}$.

$\dfrac{k}{4}=6\sqrt{15}-\dfrac{57\sqrt{15}}{8}=\dfrac{48\sqrt{15}-57\sqrt{15}}{8}=-\dfrac{9\sqrt{15}}{8}$, откуда $k=-\dfrac{9\sqrt{15}}{2}$.

Знак минус означает, что центр окружности лежит по другую сторону от прямой $AC$, чем луч $AB$ — при таком узком угле $A$ это нормально, окружность всё равно касается именно луча $AB$ (проверка: $AT=6\sqrt{15}\gt 0$, точка касания лежит на самом луче, а не на его продолжении).

Шаг 5. Радиус. Перпендикуляр $OK$ из центра к хорде $MN$ делит её пополам:

$KM=\dfrac{45-12}{2}=16,5$.

В прямоугольном треугольнике $OKM$ гипотенуза $OM$ — радиус, катеты $KM$ и $OK=|k|=\dfrac{9\sqrt{15}}{2}$:

$R^{2}=16,5^{2}+\left(\dfrac{9\sqrt{15}}{2}\right)^{2}=272,25+\dfrac{81\cdot 15}{4}=272,25+303,75=576$;

$R=\sqrt{576}=24$.