Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039044

В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=12$ и $AC=72$, точка $O$ — центр описанной около треугольника окружности. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдём $CD$.

Шаг 1. Что перпендикулярно $AO$. Проведём в точке $A$ касательную к описанной окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, значит эта касательная перпендикулярна прямой $AO$. По условию прямая $BD$ тоже перпендикулярна $AO$. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, поэтому

прямая $BD$ параллельна касательной, проведённой в точке $A$.

Шаг 2. Переносим угол на прямую $BD$. По теореме об угле между касательной и хордой угол между касательной в точке $A$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $ACB$, опирающемуся на ту же хорду $AB$. Из параллельности при секущей $AB$ этот угол равен углу $ABD$, то есть

$\angle ABD=\angle ACB$.

Шаг 3. Подобие треугольников. В треугольниках $ABD$ и $ACB$ угол при вершине $A$ общий, а $\angle ABD=\angle ACB$ по шагу 2. По признаку подобия «по двум углам» треугольники подобны, причём вершине $B$ первого соответствует вершина $C$ второго, а вершине $D$ — вершина $B$. Значит стороны пропорциональны:

$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$, то есть $AB^{2}=AC\cdot AD$.

Шаг 4. Вычисления.

$AD=\dfrac{AB^{2}}{AC}=\dfrac{12^{2}}{72}=\dfrac{144}{72}=2$.

Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому искомый отрезок равен

$CD=AC-AD=72-2=70$.

Тот же ответ даёт короткая запись $CD=\dfrac{AC^{2}-AB^{2}}{AC}=\dfrac{5184-144}{72}=\dfrac{5040}{72}=70$.