Комбинация… — Задание 25 ОГЭ по математике №00039043

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Дано: $AO=13$, расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно 8, расстояние от $O$ до прямой $AC$ равно 5. Найдём площадь параллелограмма.

Шаг 1. Радиус вписанной окружности. Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон треугольника, и это расстояние — радиус $r$. Прямая $AC$ содержит сторону треугольника $ABC$, поэтому

$r=5$,

и до прямых $AB$ и $BC$ от точки $O$ тоже по 5.

Шаг 2. Высота параллелограмма. Стороны $AD$ и $BC$ параллельны; расстояние между ними — высота $h$ параллелограмма к стороне $BC$. Точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$, то есть между этими прямыми: до $BC$ от неё 5, до $AD$ — 8. Значит

$h=8+5=13$.

Шаг 3. Угол при вершине $A$. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла $BAC$, поэтому $AO$ — биссектриса этого угла. Перпендикуляр из $O$ на сторону $AB$ равен $r=5$, гипотенуза $AO=13$, поэтому

$\sin\dfrac{\angle A}{2}=\dfrac{5}{13}$ и $\cos\dfrac{\angle A}{2}=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}$.

По формулам двойного угла $\sin\angle A=2\cdot\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{12}{13}=\dfrac{120}{169}$ и $\cos\angle A=1-2\cdot\dfrac{25}{169}=\dfrac{119}{169}$.

Шаг 4. Площадь треугольника $ABC$ двумя способами. Обозначим $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Высота треугольника из вершины $A$ на сторону $BC$ равна расстоянию между прямыми $AD$ и $BC$, то есть 13, поэтому

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot 13=6,5a$.

С другой стороны, $S=r\cdot p$, где $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр:

$6,5a=5\cdot\dfrac{a+b+c}{2}$, то есть $13a=5a+5(b+c)$, откуда $b+c=\dfrac{8a}{5}$.

Шаг 5. Произведение $bc$. Из формулы $S=\dfrac{1}{2}bc\sin\angle A$:

$\dfrac{1}{2}\cdot bc\cdot\dfrac{120}{169}=6,5a$, откуда $bc=\dfrac{6,5a\cdot 169}{60}=\dfrac{2197a}{120}$.

Шаг 6. Теорема косинусов. Для стороны $a$, лежащей против угла $A$:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\angle A=(b+c)^{2}-2bc(1+\cos\angle A)$.

Здесь $(b+c)^{2}=\dfrac{64a^{2}}{25}$, а $1+\cos\angle A=1+\dfrac{119}{169}=\dfrac{288}{169}$, поэтому

$2bc(1+\cos\angle A)=2\cdot\dfrac{2197a}{120}\cdot\dfrac{288}{169}=\dfrac{2\cdot 13a\cdot 288}{120}=\dfrac{312a}{5}$.

Получаем $a^{2}=\dfrac{64a^{2}}{25}-\dfrac{312a}{5}$. Умножим обе части на 25:

$25a^{2}=64a^{2}-1560a$, то есть $39a^{2}=1560a$ и $a=40$.

Шаг 7. Площадь параллелограмма. Основание $BC=40$, высота к нему $h=13$:

$S_{ABCD}=40\cdot 13=520$.