Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00038864

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00038864

Биссектрисы углов

$A$

$B$

параллелограмма

$ABCD$

пересекаются в точке

$K$

. Найдите площадь параллелограмма, если

$BC=12$

, а расстояние от точки

$K$

до стороны

$AB$

равно 9.

Источник: ФИПИ

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$K$$ , $$BC=12$$ , расстояние от $$K$$ до стороны $$AB$$ равно $$9$$ . Найти площадь параллелограмма.

Шаг 1. Что даёт биссектриса угла $$A$$ . Точка биссектрисы равноудалена от сторон своего угла. Стороны угла $$DAB$$ лежат на прямых $$AB$$ и $$AD$$ , поэтому расстояние от $$K$$ до прямой $$AD$$ равно расстоянию до $$AB$$ , то есть равно $$9$$ .

Шаг 2. Что даёт биссектриса угла $$B$$ . Стороны угла $$ABC$$ лежат на прямых $$AB$$ и $$BC$$ , поэтому расстояние от $$K$$ до прямой $$BC$$ тоже равно $$9$$ .

Шаг 3. Собираем высоту параллелограмма. Обе биссектрисы выходят из вершин стороны $$AB$$ внутрь параллелограмма, значит $$K$$ лежит между параллельными прямыми $$AD$$ и $$BC$$ , и расстояние между ними равно $$9+9=18$$ — это высота параллелограмма к стороне $$BC$$ .

Шаг 4. Площадь. $S=BC\cdot h=12\cdot 18=216$ .

Ответ

216

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)