Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00024979

Пусть одна часть отношения — $x$ частей окружности в градусах. Три дуги вместе составляют полную окружность:

$$3x+7x+8x=360^{\circ},\qquad 18x=360^{\circ},\qquad x=20^{\circ}.$$

Значит, дуги равны $60^{\circ}$, $140^{\circ}$ и $160^{\circ}$.

Правило: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Каждый угол треугольника опирается на «свою» дугу — ту, что лежит напротив него, поэтому углы равны

$$\dfrac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ},\qquad \dfrac{140^{\circ}}{2}=70^{\circ},\qquad \dfrac{160^{\circ}}{2}=80^{\circ}.$$

Проверка себя: $30^{\circ}+70^{\circ}+80^{\circ}=180^{\circ}$ — сумма углов треугольника. Сходится.

Меньшая сторона лежит против меньшего угла — против $30^{\circ}$, и она равна $20$.

Правило: по теореме синусов сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности: $\dfrac{a}{\sin A}=2R$.

$$2R=\dfrac{20}{\sin 30^{\circ}}=\dfrac{20}{1/2}=40,\qquad R=20.$$

Радиус описанной окружности равен $20$.