ID: 00024979
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $3:7:8$. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.
Источник: Сборник Ященко 2026
Пусть одна часть отношения — $x$ частей окружности в градусах. Три дуги вместе составляют полную окружность:
$$3x+7x+8x=360^{\circ},\qquad 18x=360^{\circ},\qquad x=20^{\circ}.$$
Значит, дуги равны $60^{\circ}$, $140^{\circ}$ и $160^{\circ}$.
Правило: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Каждый угол треугольника опирается на «свою» дугу — ту, что лежит напротив него, поэтому углы равны
$$\dfrac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ},\qquad \dfrac{140^{\circ}}{2}=70^{\circ},\qquad \dfrac{160^{\circ}}{2}=80^{\circ}.$$
Проверка себя: $30^{\circ}+70^{\circ}+80^{\circ}=180^{\circ}$ — сумма углов треугольника. Сходится.
Меньшая сторона лежит против меньшего угла — против $30^{\circ}$, и она равна $20$.
Правило: по теореме синусов сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности: $\dfrac{a}{\sin A}=2R$.
$$2R=\dfrac{20}{\sin 30^{\circ}}=\dfrac{20}{1/2}=40,\qquad R=20.$$
Радиус описанной окружности равен $20$.