ID: 00024979
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.
Источник: Сборник Ященко 2026
Пусть одна часть отношения — x частей окружности в градусах. Три дуги вместе составляют полную окружность:
3x+7x+8x=360^{\circ},\qquad 18x=360^{\circ},\qquad x=20^{\circ}.
Значит, дуги равны 60^{\circ}, 140^{\circ} и 160^{\circ}.
Правило: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Каждый угол треугольника опирается на «свою» дугу — ту, что лежит напротив него, поэтому углы равны
\dfrac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ},\qquad \dfrac{140^{\circ}}{2}=70^{\circ},\qquad \dfrac{160^{\circ}}{2}=80^{\circ}.
Проверка себя: 30^{\circ}+70^{\circ}+80^{\circ}=180^{\circ} — сумма углов треугольника. Сходится.
Меньшая сторона лежит против меньшего угла — против 30^{\circ}, и она равна 20.
Правило: по теореме синусов сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности: \dfrac{a}{\sin A}=2R.
2R=\dfrac{20}{\sin 30^{\circ}}=\dfrac{20}{1/2}=40,\qquad R=20.
Радиус описанной окружности равен 20.