Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00024931

Обозначим сторону квадрата за $a$ и введём удобные координаты: центр окружности $O$ — начало отсчёта, диаметр лежит на оси $x$.

Ключевое наблюдение — симметрия: две вершины на диаметре и две на окружности расположены симметрично относительно перпендикуляра к диаметру через центр. Поэтому вершины на диаметре — это точки $\left(-\dfrac{a}{2};\ 0\right)$ и $\left(\dfrac{a}{2};\ 0\right)$, а вершины на окружности — $\left(-\dfrac{a}{2};\ a\right)$ и $\left(\dfrac{a}{2};\ a\right)$.

Правило: точка лежит на окружности, если её расстояние до центра равно радиусу. Запишем это для вершины $\left(\dfrac{a}{2};\ a\right)$ по теореме Пифагора:

$$\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} + a^{2} = 4^{2}.$$

$$\dfrac{a^{2}}{4} + a^{2} = 16, \qquad \dfrac{5a^{2}}{4} = 16, \qquad a^{2} = \dfrac{64}{5} = 12{,}8.$$

Обрати внимание: площадь квадрата — это и есть $a^{2}$, отдельно извлекать корень и возводить обратно не нужно.

Проверка себя: $a^{2} = 12{,}8$, тогда расстояние от центра до верхней вершины $\sqrt{3{,}2 + 12{,}8} = \sqrt{16} = 4$ — ровно радиус. Сходится.

Площадь квадрата равна $12{,}8$.