Задание 23 ОГЭ по математике: Две соседние вершины квадрата лежат на окружности, а две другие…

Обозначим сторону квадрата за a и введём удобные координаты: центр окружности O — начало отсчёта, диаметр лежит на оси x.

Ключевое наблюдение — симметрия: две вершины на диаметре и две на окружности расположены симметрично относительно перпендикуляра к диаметру через центр. Поэтому вершины на диаметре — это точки \left(-\dfrac{a}{2};\ 0\right) и \left(\dfrac{a}{2};\ 0\right), а вершины на окружности — \left(-\dfrac{a}{2};\ a\right) и \left(\dfrac{a}{2};\ a\right).

Правило: точка лежит на окружности, если её расстояние до центра равно радиусу. Запишем это для вершины \left(\dfrac{a}{2};\ a\right) по теореме Пифагора:

\left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} + a^{2} = 4^{2}.

\dfrac{a^{2}}{4} + a^{2} = 16, \qquad \dfrac{5a^{2}}{4} = 16, \qquad a^{2} = \dfrac{64}{5} = 12{,}8.

Обрати внимание: площадь квадрата — это и есть a^{2}, отдельно извлекать корень и возводить обратно не нужно.

Проверка себя: a^{2} = 12{,}8, тогда расстояние от центра до верхней вершины \sqrt{3{,}2 + 12{,}8} = \sqrt{16} = 4 — ровно радиус. Сходится.

Площадь квадрата равна 12{,}8.