Задание 23 ОГЭ по математике: Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках…

№2. Задание 23

ID: 00025071

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $N$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$ . Найдите длину отрезка $NP$ , если $AP=35$ , а сторона $BC$ в 2,5 раза меньше стороны $AB$ .

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

💡 Идея. четырёхугольник $NBCP$ вписан в окружность — это даёт равные углы и подобие маленького треугольника $ANP$ большому $ACB$ .

Точки $N$ , $B$ , $C$ , $P$ лежат на одной окружности, значит, $NBCP$ — вписанный четырёхугольник. Правило: у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$ , поэтому $\angle PNB+\angle PCB=180^{\circ}$ .

Но угол $ANP$ — смежный с углом $PNB$ , их сумма тоже $180^{\circ}$ . Отсюда:

$\angle ANP=\angle ACB.$

Сравним треугольники $ANP$ и $ACB$ : угол $A$ у них общий, а $\angle ANP=\angle ACB$ — только что доказали. Правило: два равных угла — и треугольники подобны по двум углам.

Обрати внимание на порядок вершин в подобии $\triangle ANP\sim\triangle ACB$ : сторона $NP$ соответствует стороне $CB$ , а сторона $AP$ — стороне $AB$ . Поэтому:

$\dfrac{NP}{CB}=\dfrac{AP}{AB}.$

Выражаем $NP$ и подставляем данные: $BC=\dfrac{AB}{2{,}5}$ и $AP=35$ :

$NP=BC\cdot\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AB}{2{,}5}\cdot\dfrac{35}{AB}=\dfrac{35}{2{,}5}=14.$

Проверка себя: длина $AB$ сократилась и не понадобилась — ответ зависит только от $AP$ и отношения сторон. Сходится.

Ответ