Окружности — Задание 23 ОГЭ по математике №00025071

💡 Идея. четырёхугольник $NBCP$ вписан в окружность — это даёт равные углы и подобие маленького треугольника $ANP$ большому $ACB$.

Точки $N$, $B$, $C$, $P$ лежат на одной окружности, значит, $NBCP$ — вписанный четырёхугольник. Правило: у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle PNB+\angle PCB=180^{\circ}$.

Но угол $ANP$ — смежный с углом $PNB$, их сумма тоже $180^{\circ}$. Отсюда:

$$\angle ANP=\angle ACB.$$

Сравним треугольники $ANP$ и $ACB$: угол $A$ у них общий, а $\angle ANP=\angle ACB$ — только что доказали. Правило: два равных угла — и треугольники подобны по двум углам.

Обрати внимание на порядок вершин в подобии $\triangle ANP\sim\triangle ACB$: сторона $NP$ соответствует стороне $CB$, а сторона $AP$ — стороне $AB$. Поэтому:

$$\dfrac{NP}{CB}=\dfrac{AP}{AB}.$$

Выражаем $NP$ и подставляем данные: $BC=\dfrac{AB}{2{,}5}$ и $AP=35$:

$$NP=BC\cdot\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AB}{2{,}5}\cdot\dfrac{35}{AB}=\dfrac{35}{2{,}5}=14.$$

Проверка себя: длина $AB$ сократилась и не понадобилась — ответ зависит только от $AP$ и отношения сторон. Сходится.