ID: 00024848
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $AB$, если $AB=10$, $CD=18$, а расстояние от центра окружности до хорды $CD$ равно 13.
Источник: Сборник Ященко 2026
Ключевое свойство: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. Получается прямоугольный треугольник «половина хорды — расстояние до хорды — радиус».
Сначала найдём квадрат радиуса по хорде $CD$ — для неё известно всё: половина хорды $9$ и расстояние $13$. По теореме Пифагора:
$$R^{2}=9^{2}+13^{2}=81+169=250.$$
Теперь строим такой же треугольник для хорды $AB$: половина хорды $5$, радиус тот же. Выражаем расстояние:
$$\sqrt{R^{2}-5^{2}}=\sqrt{250-25}=\sqrt{225}=15.$$
Расстояние от центра до хорды $AB$ равно $15$.
Проверка: чем короче хорда, тем дальше она от центра; $AB=10$ короче $CD=18$, и её расстояние $15\gt 13$. Сходится.