Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00044075

💡 Идея. Угол $AFC$ — внутренний угол четырёхугольника $ABCF$. Сумма углов этого четырёхугольника выражается через угол трапеции, и из данного $150^{\circ}$ угол трапеции находится. Дальше — прямоугольный треугольник $CFK$.

Обозначим $\angle A=\alpha$. Трапеция равнобедренная, поэтому $\angle D=\alpha$, а углы при меньшем основании $\angle B=\angle C=180^{\circ}-\alpha$ (углы при боковой стороне в сумме дают $180^{\circ}$).

Биссектрисы делят углы пополам: $\angle BAF=\dfrac{\alpha}{2}$, $\angle BCF=\dfrac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}-\dfrac{\alpha}{2}$.

Сумма углов четырёхугольника $ABCF$ равна $360^{\circ}$:

$$\dfrac{\alpha}{2}+(180^{\circ}-\alpha)+\left(90^{\circ}-\dfrac{\alpha}{2}\right)+\angle AFC=360^{\circ}.$$

Половинки $\dfrac{\alpha}{2}$ взаимно уничтожаются, остаётся $270^{\circ}-\alpha+\angle AFC=360^{\circ}$, то есть $\angle AFC=90^{\circ}+\alpha$.

По условию $\angle AFC=150^{\circ}$, значит, $\alpha=60^{\circ}$. Тогда $\angle C=120^{\circ}$ и $\angle FCK=60^{\circ}$.

Угол $KFC$ смежный с углом $AFC$ (точки $A$, $F$, $K$ лежат на одной биссектрисе): $\angle KFC=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$.

В треугольнике $FKC$ угол при $K$:

$$\angle FKC=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}.$$

Треугольник $FKC$ прямоугольный, $CF$ — гипотенуза, $FK$ — катет против угла $C$, равного $60^{\circ}$:

$$FK=CF\cdot\sin 60^{\circ}=12\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{12\cdot 3}{2}=18.$$

Проверим себя. Катет $CK$ лежит против угла $30^{\circ}$, поэтому он равен половине гипотенузы: $CK=6\sqrt3$. По Пифагору $CK^{2}+FK^{2}=108+324=432$, а $CF^{2}=144\cdot 3=432$ — сходится.