Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00039056

Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ трапеции до пересечения в точке $P$.

Шаг 1. Угол $P$ прямой. Углы при основании $AD$ являются углами треугольника $APD$, и по условию их сумма равна $90^{\circ}$. Значит, третий угол треугольника $\angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$, то есть прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Шаг 2. Подобие. Из $BC\parallel AD$ следует, что треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$.

Шаг 3. Находим $PA$ и $PB$. $AB=PA-PB=PA(1-k)=\dfrac{2}{3}PA$. Из $\dfrac{2}{3}PA=13$ получаем $PA=19{,}5$, тогда $PB=\dfrac{1}{3}\cdot 19{,}5=6{,}5$.

Шаг 4. Радиус. Поместим $P$ в начало координат, ось $Ox$ направим вдоль луча $PA$, ось $Oy$ — вдоль луча $PD$ (по шагу 1 они перпендикулярны). Тогда $A(19{,}5;0)$, $B(6{,}5;0)$, а прямая $CD$ совпадает с осью $Oy$.

Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, равноудалён от этих точек, поэтому его абсцисса равна $\dfrac{19{,}5+6{,}5}{2}=13$. Окружность касается оси $Oy$, значит радиус равен расстоянию от центра до этой оси, то есть абсциссе центра:

$R=13$.