Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00044074

💡 Идея. Параллельность $CF\parallel AB$ — это условие на углы трапеции: из неё угол при основании находится точно. А когда углы известны, треугольник $CFK$ оказывается прямоугольным, и $CF$ находится через тригонометрию.

Обозначим $\angle A=\alpha$. Трапеция равнобедренная, поэтому $\angle D=\alpha$. Углы $C$ и $D$ прилежат к боковой стороне $CD$, это односторонние углы при параллельных основаниях, поэтому $\angle C=180^{\circ}-\alpha$. Так же $\angle B=180^{\circ}-\alpha$.

$CF$ — биссектриса угла $C$, поэтому $\angle BCF=\dfrac{180^{\circ}-\alpha}{2}$.

Прямые $AB$ и $CF$ параллельны, а $BC$ — секущая. Углы $ABC$ и $BCF$ — односторонние (оба по одну сторону от $BC$, со стороны трапеции), их сумма $180^{\circ}$:

$$(180^{\circ}-\alpha)+\dfrac{180^{\circ}-\alpha}{2}=180^{\circ}.$$

Слева полтора раза по $(180^{\circ}-\alpha)$: $\dfrac32(180^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}$, откуда $180^{\circ}-\alpha=120^{\circ}$ и $\alpha=60^{\circ}$.

Итак, $\angle A=\angle D=60^{\circ}$, $\angle C=120^{\circ}$ и $\angle FCD=60^{\circ}$.

Теперь треугольник $AKD$. Биссектриса делит угол $A$ пополам: $\angle KAD=30^{\circ}$. Угол $D$ равен $60^{\circ}$. Тогда

$$\angle AKD=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ},$$

то есть $AK\perp CD$.

Рассмотрим треугольник $CFK$: угол при $K$ прямой, угол при $C$ равен $60^{\circ}$ (это угол между $CF$ и $CD$). Катет $FK$ лежит против угла $C$, а $CF$ — гипотенуза. Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$$\sin 60^{\circ}=\dfrac{FK}{CF},\qquad CF=\dfrac{FK}{\sin 60^{\circ}}=\dfrac{4\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=4\sqrt3\cdot\dfrac{2}{\sqrt3}=8.$$

Заметим: в зависимости от длин сторон трапеции точка $F$ может лежать и внутри, и вне её, но прямой угол при $K$ и угол $60^{\circ}$ между $CF$ и $CD$ от этого не меняются — ответ тот же.

Проверим себя: в прямоугольном треугольнике с углом $60^{\circ}$ второй острый угол $30^{\circ}$, и катет против него вдвое короче гипотенузы: $CK=\dfrac{8}{2}=4$. По Пифагору $FK^{2}=8^{2}-4^{2}=48$, и $\sqrt{48}=4\sqrt3$ — совпадает с условием.