Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00039064

Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ трапеции $ABCD$ до пересечения в точке $P$ — именно это построение позволяет использовать условие про сумму углов.

Шаг 1. Прямой угол. Углы при основании $AD$ становятся углами треугольника $APD$ при вершинах $A$ и $D$; по условию их сумма равна $90^{\circ}$. Так как сумма углов треугольника $180^{\circ}$, получаем $\angle APD=90^{\circ}$, то есть прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Шаг 2. Подобие. Из $BC\parallel AD$ треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{21}{49}=\dfrac{3}{7}$.

Шаг 3. Отрезки $PA$ и $PB$. $AB=PA-PB=PA\left(1-\dfrac{3}{7}\right)=\dfrac{4}{7}PA$. Из $\dfrac{4}{7}PA=20$ получаем $PA=\dfrac{20\cdot 7}{4}=35$, тогда $PB=\dfrac{3}{7}\cdot 35=15$.

Шаг 4. Радиус. Введём координаты: $P(0;0)$, ось $Ox$ вдоль луча $PA$, ось $Oy$ вдоль луча $PD$ (по шагу 1 эти прямые перпендикулярны). Тогда $A(35;0)$, $B(15;0)$, а прямая $CD$ — это ось $Oy$.

Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, равноудалён от них, значит лежит на серединном перпендикуляре к $AB$ и его абсцисса равна $\dfrac{35+15}{2}=25$. Окружность касается оси $Oy$, поэтому радиус равен расстоянию от центра до этой оси, то есть абсциссе центра:

$R=25$.