Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00044072

💡 Идея. Биссектриса угла параллелограмма вместе с параллельными сторонами отсекает равнобедренный треугольник. Он и даст неизвестную сторону $AB$.

Рассмотрим углы при точке $L$. Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма параллельны, а $AL$ — секущая. Углы $BLA$ и $LAD$ — накрест лежащие, поэтому $\angle BLA=\angle LAD$.

$AL$ — биссектриса угла $A$, значит, $\angle LAD=\angle BAL$. Соединяем два равенства:

$$\angle BLA=\angle BAL.$$

В треугольнике $ABL$ два угла равны, значит, он равнобедренный, и равны стороны, лежащие против этих углов. Против угла $BLA$ лежит сторона $AB$, против угла $BAL$ — сторона $BL$. Поэтому

$$AB=BL=16.$$

Сторона $BC$ складывается из двух отрезков: $BC=BL+LC=16+10=26$.

У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому периметр — это удвоенная сумма двух соседних сторон:

$$P=2(AB+BC)=2\cdot(16+26)=2\cdot 42=84.$$

Проверим себя. Биссектриса упёрлась именно в сторону $BC$, а не в $CD$, — так бывает, только если $AB\lt BC$. У нас $16\lt 26$, всё согласовано.