Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00039060

Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P$.

Шаг 1. Прямой угол. В треугольнике $APD$ углы при вершинах $A$ и $D$ — это углы трапеции при основании $AD$, их сумма по условию $90^{\circ}$. Значит $\angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$: прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Шаг 2. Подобие. Так как $BC\parallel AD$, треугольники $PBC$ и $PAD$ подобны с коэффициентом

$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{1}{7}$.

Шаг 3. Отрезки $PA$ и $PB$. $AB=PA-PB=PA\left(1-\dfrac{1}{7}\right)=\dfrac{6}{7}PA$. Из $\dfrac{6}{7}PA=15$ находим $PA=\dfrac{15\cdot 7}{6}=17{,}5$, а $PB=\dfrac{1}{7}\cdot 17{,}5=2{,}5$.

Шаг 4. Радиус. Введём координаты: $P(0;0)$, ось $Ox$ вдоль луча $PA$, ось $Oy$ вдоль луча $PD$. Тогда $A(17{,}5;0)$, $B(2{,}5;0)$, а прямая $CD$ — ось $Oy$.

Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, равноудалён от них, поэтому его абсцисса равна $\dfrac{17{,}5+2{,}5}{2}=10$. Окружность касается оси $Oy$, значит радиус равен расстоянию от центра до неё, то есть абсциссе центра:

$R=10$.