Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00039058

Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P$ — без этого построения условие о сумме углов использовать не получится.

Шаг 1. Прямой угол при $P$. Углы трапеции при основании $AD$ — это углы треугольника $APD$ при вершинах $A$ и $D$, их сумма равна $90^{\circ}$. Тогда $\angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$, то есть прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Шаг 2. Подобие. Из $BC\parallel AD$ треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2}{34}=\dfrac{1}{17}$.

Верхнее основание совсем короткое, поэтому точка $P$ лежит близко к стороне $BC$.

Шаг 3. Находим $PA$ и $PB$. $AB=PA-PB=PA\left(1-\dfrac{1}{17}\right)=\dfrac{16}{17}PA$. Из $\dfrac{16}{17}PA=24$ получаем $PA=\dfrac{24\cdot 17}{16}=25{,}5$, тогда $PB=\dfrac{1}{17}\cdot 25{,}5=1{,}5$.

Шаг 4. Радиус. Введём координаты: $P(0;0)$, ось $Ox$ вдоль луча $PA$, ось $Oy$ вдоль луча $PD$. Тогда $A(25{,}5;0)$, $B(1{,}5;0)$, а прямая $CD$ — это ось $Oy$.

Центр окружности через $A$ и $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, значит его абсцисса равна $\dfrac{25{,}5+1{,}5}{2}=13{,}5$. Так как окружность касается оси $Oy$, радиус равен расстоянию от центра до этой оси:

$R=13{,}5$.