Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00039062

Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ трапеции до пересечения в точке $P$.

Шаг 1. Угол при $P$ прямой. Углы трапеции при основании $AD$ являются углами треугольника $APD$ при вершинах $A$ и $D$, их сумма по условию равна $90^{\circ}$. Тогда $\angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$, то есть $AB\perp CD$.

Шаг 2. Подобие. Из $BC\parallel AD$ следует подобие треугольников $PBC$ и $PAD$ с коэффициентом

$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{24}{48}=\dfrac{1}{2}$.

Здесь верхнее основание ровно вдвое короче нижнего, значит $B$ — середина отрезка $PA$.

Шаг 3. Отрезки $PA$ и $PB$. $AB=PA-PB=PA\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}PA$. Из $\dfrac{1}{2}PA=13$ получаем $PA=26$, а $PB=\dfrac{1}{2}\cdot 26=13$.

Шаг 4. Радиус. Возьмём $P$ за начало координат, ось $Ox$ вдоль луча $PA$, ось $Oy$ вдоль луча $PD$. Тогда $A(26;0)$, $B(13;0)$, а прямая $CD$ — это ось $Oy$.

Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, поэтому его абсцисса равна $\dfrac{26+13}{2}=19{,}5$. Окружность касается оси $Oy$, значит её радиус равен расстоянию от центра до этой оси:

$R=19{,}5$.