Четырёхуголь… — Задание 23 ОГЭ по математике №00039059

Продолжим боковые стороны $AB$ и $DC$ трапеции $ABCD$ до пересечения в точке $P$.

Шаг 1. Треугольник $APD$ прямоугольный. Углы при основании $AD$ — это углы треугольника $APD$ при вершинах $A$ и $D$; по условию их сумма равна $90^{\circ}$. Значит $\angle APD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$, то есть прямые $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны.

Шаг 2. Подобие. $BC\parallel AD$, поэтому треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

$k=\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{11}{33}=\dfrac{1}{3}$.

Шаг 3. Находим $PA$ и $PB$. $AB=PA-PB=PA\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}PA$. Из $\dfrac{2}{3}PA=20$ получаем $PA=30$, следовательно $PB=\dfrac{1}{3}\cdot 30=10$.

Шаг 4. Радиус окружности. Возьмём $P$ за начало координат, ось $Ox$ направим вдоль луча $PA$, ось $Oy$ — вдоль луча $PD$; они перпендикулярны по шагу 1. Тогда $A(30;0)$, $B(10;0)$, а прямая $CD$ совпадает с осью $Oy$.

Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, равноудалён от них, поэтому его абсцисса равна $\dfrac{30+10}{2}=20$. Окружность касается оси $Oy$, а расстояние от центра до неё как раз равно абсциссе центра, значит

$R=20$.