Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00039050

Обозначим через $P$ точку пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE\perp AD$ и обе длины равны $20$.

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный. В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ делит угол $ABD$ пополам (он лежит на биссектрисе $BE$) и одновременно перпендикулярен стороне $AD$, то есть служит высотой. Если биссектриса и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, треугольник равнобедренный. Значит $AB=BD$ и $P$ — середина $AD$: $AP=PD=20:2=10$.

Шаг 2. Связь сторон. $AD$ — медиана, поэтому $D$ — середина $BC$, откуда $BC=2BD=2AB$.

Шаг 3. Координаты. Возьмём $P$ за начало координат, ось $Ox$ направим вдоль $AD$, ось $Oy$ — вдоль $BE$. Тогда $A(-10;0)$, $D(10;0)$, $B(0;h)$, где $h=BP$. Точка $D$ — середина отрезка $BC$, значит $C(20;-h)$.

Шаг 4. Находим $h$. Точка $E$ лежит и на стороне $AC$, и на оси $Oy$. Двигаясь от $A(-10;0)$ к $C(20;-h)$, абсцисса меняется на $30$, а до оси $Oy$ надо пройти $10$ — это треть пути, поэтому ордината меняется на треть: $E\left(0;-\dfrac{h}{3}\right)$.

Тогда $BE=h+\dfrac{h}{3}=\dfrac{4h}{3}=20$, откуда $h=15$.

Шаг 5. Стороны по теореме Пифагора.

• $AB=\sqrt{10^{2}+15^{2}}=\sqrt{100+225}=\sqrt{325}=5\sqrt{13}$;
• $BC=2AB=10\sqrt{13}$;
• $AC=\sqrt{30^{2}+15^{2}}=\sqrt{900+225}=\sqrt{1125}=15\sqrt{5}$.