Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00039053

Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=28$.

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный. В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ одновременно биссектриса угла $ABD$ и высота к стороне $AD$. Треугольник, в котором биссектриса и высота из одной вершины совпадают, равнобедренный, поэтому $AB=BD$, а $P$ — середина $AD$: $AP=PD=28:2=14$.

Шаг 2. Связь сторон. $AD$ — медиана, значит $D$ — середина $BC$ и $BC=2BD=2AB$.

Шаг 3. Координаты. Пусть $P(0;0)$, ось $Ox$ вдоль $AD$, ось $Oy$ вдоль $BE$. Тогда $A(-14;0)$, $D(14;0)$, $B(0;h)$, где $h=BP$, и $C(28;-h)$, поскольку $D$ — середина $BC$.

Шаг 4. Находим $h$. Точка $E$ — пересечение прямой $AC$ с осью $Oy$. От $A(-14;0)$ до $C(28;-h)$ абсцисса меняется на $42$, а до оси $Oy$ надо пройти $14$ — треть пути, поэтому $E\left(0;-\dfrac{h}{3}\right)$ и

$BE=h+\dfrac{h}{3}=\dfrac{4h}{3}=28$, откуда $h=21$.

Шаг 5. Стороны треугольника.

• $AB=\sqrt{14^{2}+21^{2}}=\sqrt{196+441}=\sqrt{637}=7\sqrt{13}$;
• $BC=2AB=14\sqrt{13}$;
• $AC=\sqrt{42^{2}+21^{2}}=\sqrt{1764+441}=\sqrt{2205}=21\sqrt{5}$.