Треугольники — Задание 23 ОГЭ по математике №00039051

Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$; по условию они перпендикулярны и $BE=AD=36$.

Шаг 1. Равнобедренный треугольник. В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ является биссектрисой угла $ABD$ (часть биссектрисы $BE$) и высотой (так как $BE\perp AD$). Треугольник, у которого биссектриса и высота из одной вершины совпадают, — равнобедренный, поэтому $AB=BD$, а $P$ — середина $AD$: $AP=PD=36:2=18$.

Шаг 2. Соотношение сторон. Так как $AD$ — медиана, точка $D$ — середина $BC$, значит $BC=2BD=2AB$.

Шаг 3. Координаты. Пусть $P(0;0)$, ось $Ox$ идёт вдоль $AD$, ось $Oy$ — вдоль $BE$. Тогда $A(-18;0)$, $D(18;0)$, $B(0;h)$, где $h=BP$, и $C(36;-h)$ (ведь $D$ — середина $BC$).

Шаг 4. Ищем $h$. Точка $E$ — пересечение прямой $AC$ с осью $Oy$. От $A(-18;0)$ до $C(36;-h)$ абсцисса меняется на $54$, а до оси $Oy$ проходим $18$, то есть треть пути; значит $E\left(0;-\dfrac{h}{3}\right)$ и

$BE=h+\dfrac{h}{3}=\dfrac{4h}{3}=36$, откуда $h=27$.

Шаг 5. Стороны.

• $AB=\sqrt{18^{2}+27^{2}}=\sqrt{324+729}=\sqrt{1053}=9\sqrt{13}$;
• $BC=2AB=18\sqrt{13}$;
• $AC=\sqrt{54^{2}+27^{2}}=\sqrt{2916+729}=\sqrt{3645}=27\sqrt{5}$.