ID: 00039047
Источник: ФИПИ
Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD$. По условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=24$.
Шаг 1. Треугольник $ABD$ оказывается равнобедренным. В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ лежит на биссектрисе угла $B$, то есть делит угол $ABD$ пополам, и одновременно перпендикулярен стороне $AD$, то есть является высотой. Если в треугольнике биссектриса и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Значит $AB=BD$, а точка $P$ — середина $AD$: $AP=PD=24:2=12$.
Шаг 2. Связь сторон. $AD$ — медиана, поэтому $D$ — середина стороны $BC$, откуда $BC=2BD=2AB$.
Шаг 3. Вводим координаты. Поместим $P$ в начало координат, ось $Ox$ направим вдоль $AD$, ось $Oy$ — вдоль $BE$ (они перпендикулярны по условию). Тогда $A(-12;0)$, $D(12;0)$, $B(0;h)$, где $h=BP>0$. Точка $D$ — середина $BC$, поэтому координаты $C$ находим по правилу середины: $C(2\cdot 12-0; 2\cdot 0-h)$, то есть $C(24;-h)$.
Шаг 4. Находим $h$ из длины биссектрисы. Точка $E$ лежит на стороне $AC$ и на прямой $BE$, то есть на оси $Oy$. Идём от $A(-12;0)$ к $C(24;-h)$: абсцисса меняется на $36$, а до оси $Oy$ надо пройти $12$ — это треть пути. Значит и ордината меняется на треть: $E\left(0;-\dfrac{h}{3}\right)$.
Тогда $BE=h+\dfrac{h}{3}=\dfrac{4h}{3}$. Из уравнения $\dfrac{4h}{3}=24$ получаем $h=18$.
Шаг 5. Считаем стороны по теореме Пифагора.
Проверка: $BE$ действительно биссектриса — отношение $\dfrac{12}{6\sqrt{13}}$ равно отношению $\dfrac{24}{12\sqrt{13}}$, то есть углы, которые $BA$ и $BC$ образуют с осью $Oy$, равны.