Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00038789

Шаг 1. Разбираемся с параболой под модулем. Рассмотрим функцию $y=x^{2}+4x-5$. Её нули: $x^{2}+4x-5=0$, по теореме Виета корни $x=1$ и $x=-5$ (сумма $-4$, произведение $-5$). Вершина стоит посередине между нулями: $x_0=-2$, $y_0=(-2)^{2}+4\cdot(-2)-5=4-8-5=-9$. Значит парабола ветвями вверх пересекает ось $Ox$ в точках $-5$ и $1$, а между ними глубоко уходит под ось — до $-9$.

Шаг 2. Что делает модуль. Модуль превращает отрицательные значения в положительные: часть графика выше оси $Ox$ остаётся неизменной, а кусок между $x=-5$ и $x=1$ отражается симметрично вверх. Вместо ямы получается «горбик» высотой $9$ с вершиной в точке $(-2;9)$; точки $(-5;0)$ и $(1;0)$ остаются на оси.

Шаг 3. Пересекаем прямыми, параллельными оси абсцисс. Такая прямая имеет вид $y=m$:

• $m\lt 0$: график не опускается ниже оси — $0$ точек;
• $m=0$: только $(-5;0)$ и $(1;0)$ — $2$ точки;
• $0\lt m\lt 9$: прямая пересекает левую внешнюю ветвь, правую внешнюю ветвь и дважды горбик — $4$ точки;
• $m=9$: две внешние ветви плюс вершина горбика — $3$ точки;
• $m\gt 9$: горбик остаётся ниже прямой, остаются только внешние ветви — $2$ точки.

Наибольшее число общих точек равно $4$; оно достигается для любой прямой $y=m$ с $0\lt m\lt 9$, например для $y=5$.