Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038741

График склеен из двух кусков, граница — точка $x=-5$: справа парабола, слева ветвь гиперболы.

Правый кусок, $x\geq -5$: $y=x^{2}+4x+4$. Это полный квадрат: $x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$. Парабола ветвями вверх с вершиной $(-2;0)$, и вершина попадает в область $x\geq -5$. Начало куска: при $x=-5$ получаем $y=(-5+2)^{2}=9$, точка $(-5;9)$ закрашена. Кусок спускается от $(-5;9)$ к вершине $(-2;0)$ и дальше неограниченно поднимается вверх.

Левый кусок, $x\lt -5$: $y=-\dfrac{45}{x}$. При отрицательных $x$ дробь положительна. При $x=-5$ формула дала бы $y=-\dfrac{45}{-5}=9$, но $x=-5$ этому куску не принадлежит: точка $(-5;9)$ для него выколота. При движении влево значение убывает: при $x=-9$ будет $5$, при $x=-45$ уже $1$, и дальше стремится к нулю, не достигая его. Значит кусок покрывает промежуток $0\lt y\lt 9$, каждое значение ровно один раз.

Точка $(-5;9)$ на графике есть — её даёт парабола; гипербола её не даёт.

Считаем пересечения с прямой $y=m$. Для параболы: $(x+2)^{2}=m$ при $m\geq 0$ даёт $x=-2\pm\sqrt{m}$; условию $x\geq -5$ меньший корень $-2-\sqrt{m}$ удовлетворяет при $\sqrt{m}\leq 3$, то есть при $m\leq 9$. Значит парабола даёт: $0$ точек при $m\lt 0$, одну при $m=0$ (вершина), две при $0\lt m\leq 9$, одну при $m\gt 9$.

• $m\lt 0$: $0+0=0$ точек;
• $m=0$: $1+0=1$ точка;
• $0\lt m\lt 9$: $2+1=3$ точки;
• $m=9$: $2+0=2$ точки;
• $m\gt 9$: $1+0=1$ точка.

Одна или две общие точки бывают при $m=0$ и при всех $m\geq 9$.