Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038749

Функция задана двумя разными формулами, поэтому график собираем из двух кусков: правее точки $x=2$ (и в самой точке) — часть параболы, левее — луч прямой.

Правый кусок, $x\geq 2$: парабола $y=x^{2}-6x+11$. Старший коэффициент $1\gt 0$, ветви вверх. Абсцисса вершины $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=3$, ордината $y_0=3^{2}-6\cdot 3+11=9-18+11=2$. Вершина $(3;2)$ попадает в область $x\geq 2$, значит «яма» на графике настоящая. Край куска: при $x=2$ получаем $y=4-12+11=3$, точка $(2;3)$ графику принадлежит — она закрашенная. Итак, кусок идёт из $(2;3)$ вниз до вершины $(3;2)$, а потом неограниченно вверх.

Левый кусок, $x\lt 2$: прямая $y=x+3$. Строим по двум точкам: при $x=0$ будет $y=3$, при $x=-3$ будет $y=0$. В точке $x=2$ формула дала бы $y=5$, но это значение $x$ куску не принадлежит, поэтому $(2;5)$ — выколотая точка. При $x\lt 2$ выполняется $x+3\lt 5$: луч принимает все значения строго меньше $5$, каждое ровно один раз.

Двигаем горизонтальную прямую $y=m$ и считаем пересечения с каждым куском отдельно.

С лучом: одна точка при $m\lt 5$ и ни одной при $m\geq 5$.

С куском параболы решаем $x^{2}-6x+11=m$, то есть $x^{2}-6x+(11-m)=0$, откуда $x=3\pm\sqrt{m-2}$. Корни существуют при $m\geq 2$. Условию $x\geq 2$ меньший корень $3-\sqrt{m-2}$ удовлетворяет только при $\sqrt{m-2}\leq 1$, то есть при $m\leq 3$. Значит: при $m\lt 2$ точек нет; при $m=2$ одна (сама вершина); при $2\lt m\leq 3$ две; при $m\gt 3$ одна.

• $m\lt 2$: $0+1=1$ точка;
• $m=2$: $1+1=2$ точки;
• $2\lt m\leq 3$: $2+1=3$ точки;
• $3\lt m\lt 5$: $1+1=2$ точки;
• $m\geq 5$: $1+0=1$ точка.

Ровно две общие точки получаются, когда прямая проходит через вершину параболы, то есть при $m=2$, и когда $m$ лежит строго между уровнем закрашенного конца параболы $y=3$ и уровнем выколотой точки $y=5$.