Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00038750

График состоит из двух кусков, граница между ними — вертикаль $x=-4$.

Правый кусок, $x\geq -4$: парабола $y=x^{2}+4x+4$. Заметим, что $x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$ — это квадрат двучлена, то есть парабола $y=x^{2}$, сдвинутая на $2$ влево. Ветви вверх, вершина $(-2;0)$, и она попадает в область $x\geq -4$. Край куска: при $x=-4$ получаем $y=(-4+2)^{2}=4$, точка $(-4;4)$ графику принадлежит и рисуется закрашенной. Значит, кусок идёт из $(-4;4)$ вниз до вершины $(-2;0)$, касается там оси $Ox$ и дальше неограниченно поднимается.

Левый кусок, $x\lt -4$: ветвь гиперболы $y=-\dfrac{16}{x}$. Здесь $x$ отрицателен, поэтому $-\dfrac{16}{x}$ положительно. Посчитаем несколько точек: при $x=-8$ будет $y=2$, при $x=-16$ будет $y=1$, при $x=-32$ будет $y=0,5$. Чем дальше влево, тем ближе значения к нулю, но нуля они не достигают. В точке $x=-4$ формула дала бы $y=4$, но само $x=-4$ этому куску не принадлежит, поэтому со стороны гиперболы точка $(-4;4)$ выколота (на графике она всё равно закрашена — её даёт парабола). Итого левый кусок принимает все значения из промежутка $0\lt y\lt 4$, причём каждое ровно один раз.

Считаем общие точки с прямой $y=m$.

С ветвью гиперболы: одна точка, если $0\lt m\lt 4$, и ни одной при остальных $m$.

С куском параболы решаем $(x+2)^{2}=m$. При $m\lt 0$ решений нет. При $m=0$ один корень $x=-2$. При $m\gt 0$ корни $x=-2\pm\sqrt{m}$; условию $x\geq -4$ левый корень $-2-\sqrt{m}$ удовлетворяет только при $\sqrt{m}\leq 2$, то есть при $m\leq 4$. Значит, при $0\lt m\leq 4$ — две точки, при $m\gt 4$ — одна.

• $m\lt 0$: $0+0=0$ точек;
• $m=0$: $1+0=1$ точка;
• $0\lt m\lt 4$: $2+1=3$ точки;
• $m=4$: $2+0=2$ точки (корни $x=-4$ и $x=0$, а гипербола значения $4$ уже не принимает);
• $m\gt 4$: $1+0=1$ точка.

Одна или две общие точки получаются при $m=0$ (прямая касается вершины параболы) и при всех $m\geq 4$.